14 Март 2011

Курс предпринимательства




предыдущие шаги обеспечивали максимальную эффективность
последующего шага, иными словами, на каждом шаге имеется таГлава
6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 173
кое управление, которое обеспечивает оптимальное продолжение
операции; этот принцип выбора управления называется принципом
оптимальности;
— так продолжается до первого шага, но поскольку первый
шаг не имеет предыдущего, то полученное для него условное оптимальное
управление теряет свой условный характер и становится
просто оптимальным управлением, которое мы ищем;
— второй круг оптимизации начинается с первого шага, для
которого оптимальное управление известно.
Имея для всех шагов после первого условные оптимальные
управления, мы знаем, что необходимо делать на каждом последующем
шаге. Это дает нам возможность последовательно переходить
от условных к оптимальным управлениям для всех последующих
шагов, что обеспечивает оптимальность операции в целом.
Пусть имеется m типов различных грузов, которыми необходимо
загрузить транспортное средство (корабль, самолет, автомобиль)
таким образом, чтобы общая ценность груза W была максимальной.
Ценность груза является функцией от грузоподъемности
транспортного средства
W = f (G). (6.67)
Известны массы грузов i-го типа Рi и их стоимость Ci.
Необходимо загрузить транспортное средство таким образом,
чтобы общая ценность груза была максимальной
W f xC m i i
i
m
 
 
(G) max ,
1
(6.68)
где xi — число предметов груза i-го типа, загружаемых в транспортное
средство; xi выступает здесь в качестве управления (Ui = xi).
Ограничивающими условиями являются:
x P G i i
i
m

 
;
1
(6.69)
xi = 0, 1, 2… (6.70)
Первое условие требует, чтобы общая масса груза не превышала
грузоподъемности транспортного средства, а второе — чтобы
предметы, составляющие груз различных типов, были неделимы.
Пример 6.8
Самолет грузоподъемностью G = 83 условных единицы груза
предполагается загрузить четырьмя типами груза (m = 4). Массы и
стоимость грузов i-го типа в условных единицах заданы в табл. 6.23.
174 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Необходимо загрузить самолет таким образом, чтобы общая
ценность груза была максимальной.
Таблица 6.23
Массы и стоимость груза i-го типа (в условных единицах)
Показатель, условные
единицы
Тип груза, i
1 2 3 4
Pi 10 16 22 24
Ci 20 50 85 96
Решение
В данном примере нет естественного разделения операции загрузки
на шаги. Такое разделение, в интересах решения задачи, целесообразно
ввести искусственно, принимая за шаги загрузку самолета
предметами различных типов. Таких шагов будет четыре.
Последовательность расчетов при этом будет следующей.
На первом круге оптимизация начинается с четвертого типа
груза — четвертого шага. При этом принимается, что самолет загружают
только предметами 4-го типа. В этих условиях максимальная
ценность груза на четвертом шаге
)4 = f4 (G) = max {x4 c4} (6.71)
при условиях, вытекающих из условий (6.69) и (6.70)
х4Р4  G;
х4 = 0, 1, 2, …
Из первого условия следует, что
x
G
P
x 4
4
4 4
83
24
 ;  ; x  3,46.
Из второго условия следует, что х4 может быть только целым числом,
поэтому в качестве х4 берется целая часть полученной дроби
x
G
P 4   3 46  3
Ц
, .
Это и есть условное оптимальное управление на последнем
четвертом шаге
U4 = x4 = 3.
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 175
Максимальная ценность груза при такой загрузке определяется
по формуле (6.71):
)4 = f4(G) = max {3 96} = 288.
Переходим к предыдущему, третьему шагу, на котором самолет
загружается предметами четвертого типа и, кроме того, предметами
третьего типа.
Взяв на этом шаге х3 предметов третьего типа, мы тем самым
устанавливаем, что количество предметов четвертого типа по весу
не может быть более (G — x3P3). Максимальная ценность этого
груза равна f4(G — x3P3).
Максимальная ценность груза, состоящего из предметов четвертого
и третьего типов, определится по формуле, вытекающей
из формулы (6.68), с ограничениями (6.69) и (6.70):
f3(G) = max {x3c3 + f4(G — x3P3)} (6.72)
при
0 3
3
 x
G
P
. (6.73)
Расчет по формуле (6.72) производится следующим образом.
Из ограничения (6.73) следует:
0
83
22 3  x .
Это означает, что х3 может принимать значение не больше:
х3 = 0, 1, 2, 3.
Для каждого из этих четырех значений вычисляется величина,
стоящая в фигурных скобках формулы (6.72), причем f4(G) рассчитывается
по формуле (6.71):