14 Март 2011

Курс предпринимательства




табл. 6.20.
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 165
Таблица 6.20
Эффективность вложений ресурсов различного рода в регионы
Номер группы ресурсов
Номер проекта
1 2 3
1 0,40 0,10 0,50
2 0,20 0,40 0,20
Распределение ресурсов по проектам характеризуется матрицей
A  xij , где xij — количество ресурсов i-го типа, назначаемых
на j-й проект.
Необходимо распределить ресурсы по проектам таким образом,
чтобы суммарная эффективность была максимальной:
M Pi ij
x
i
m
j
n
   ij
»
# $
%
& ‘

 
 1 ( 1
1 1
( ) ) max. (6.46)
Должны выполняться такие ограничения:
x N i m
x i m
ij i
j
n
ij
 


 
; , , . . . , ;
, , , . . . , ;
1 2
0 12
1
j  n

 
 
1, 2, . . . , .
(6.47)
Решение:
— в области изменения максимизируемой функции определяется
исходное допустимое решение, удовлетворяющее ограничительным
условиям задачи;
— с помощью специального критерия проверяется, достаточно
ли близко полученное решение к оптимальному;
— если полученное отклонение больше требуемого, то путем
построения так называемого возможного направления и определения
в этом направлении конечного шага получают новое допустимое
решение, которое увеличивает значение максимизируемой
функции;
— процесс расчетов носит характер последовательных приближений
и продолжается до тех пор, пока на некотором шаге
итерации не будет получено решение, близкое к оптимальному с
требуемой точностью приближения.
Последовательность расчетов
1. Определяется исходное допустимое решение
166 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
A( ) ( ) 0 0 ,  xij (6.48)
где А(0) — матрица, характеризующая исходное распределение ресурсов
по проектам.
В качестве исходного (начального) распределения может быть
взято любое (в том числе и произвольное) распределение (матрица
А(0)), не противоречащее ограничительным условиям задачи.
Чем это начальное распределение окажется ближе к оптимальному,
тем меньше необходимое число итераций.
Мы можем здесь воспользоваться приближенным решением
этой же задачи, полученным с помощью метода динамического
программирования (см. ниже в данном параграфе).
Номера проектов (столбцы)
1 2 3
3 0 3
3 5 2
1
2
A(0)  Номера групп ресурсов (строки)
(6.49)
Далее осуществляется итеративный процесс; в результате выполнения
k итераций получается k-e приближение к оптимальному
распределению
A(k) ( ) .
ij
 x k (6.50)
2. Определяется компонента матрицы возможного направления
S S
S
( ) ( )
( ) ( ) ( )
;
~ .
k
ij
k
ij
k
ij
k
ij
x x k

 
(6.51)
Величины x~( ) ij
k находятся с помощью матрицы yij
( k ) :
y Pa ax ij
k
J ij ij ij
k
i
m
( )  exp  ( ) ,

 

 
 1
(6.52)
где aij = — ln (1 — )ij). (6.53)
В каждой строке матрицы yij
( k ) отыскивается максимальный
элемент. Положение максимальных элементов и определяет искомые
значения x~( ) ij
k , равные Ni (i = 1, 2, …, m). Остальные xij
( k )
принимаются равными нулю.
3. Оценивается близость полученного решения к оптимальному.
Для этого рассчитывается величина отклонения решения на
данном шаге от оптимального решения (k)
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 167
(k) ( ) ( ) ( ) .
j
k
j
n
ij
k
ij
k
i
m
j
n
  y S

 

 
  
 A  
1 1 1
(6.54)
Величина (k) сравнивается с величиной  — требуемым отклонением
полученного на данном шаге математического ожидания
(суммарной эффективности) от математического ожидания,
соответствующего оптимальному распределению.
Если (k)  , то решение практически оптимально, если
(k) >  — необходимо перейти к п. 4.
4. Находится длина .k шага, который необходимо сделать
вдоль возможного направления, для того чтобы приблизиться к
оптимальному решению. Величина .k находится из уравнения
Aj
k
j
n
k ij ij
k
i
m
( ) exp a S( ) .
 
  

 

 

1 1
. 0 (6.55)
5. Находится новое допустимое решение A( k )
ij
 x ( k 1) , где
x x S ij
k
ij
k
k ij
( 1)  ( ) . (k) . (6.56)
Далее вычисления повторяются начиная с п. 2.
Результаты расчетов сведены в табл. 6.21.
Таблица 6.21
Результаты расчетов примера 6.6
Номер итерации, k
План распределения, xij
( k )
Отклонение от оптимального
решения, (k)
Шаг, .k
Суммарная
эффективность
x k
11
( ) x k
12
( ) x k
13
( ) x k
21
( ) x k
22
( ) x k
23
( )
0 3 0 3 3 5 2 0,042 0,043 0,9110
1 2,87 0 3,13 2,87 4,79 2,34 0,019 0,053 0,9123
2 2,72 0 3,28 2,72 5,07 2,21 0,015 0,089 0,9129