14 Март 2011

Курс предпринимательства




Ограничения характеризуют имеющиеся возможности решения
задачи.
Целевая функция или хотя бы одно из ограничений нелинейны
(т. е. на графиках изображаются непрямыми (кривыми) линиями).
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 159
I II III IV V
1 2 3 4 5
объекты
проекты
Рис. 6.3
Существо решения задач нелинейного программирования заключается
в том, чтобы найти условия, обращающие целевую
функцию в минимум или максимум.
Решение, удовлетворяющее условиям задачи и соответствующее
намеченной цели, называется оптимальным планом.
Нелинейное программирование служит для выбора наилучшего
плана распределения ограниченных ресурсов в целях решения
поставленной задачи.
В общем виде постановка задачи нелинейного программирования
сводится к следующему.
Условия задачи представляются с помощью системы нелинейных
уравнений или неравенств, выражающих ограничения, налагаемые
на использование имеющихся ресурсов:
Z x x x
Z x x x
n
n
1 1 2
2 1 2
0
0
( , , . . . , ) ;
( , , . . . , ) ;
. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .
( , , . . . , ) ,
,
Z x x x
x
m n
i
1 2 0
0






при

(6.40)
где Z1, Z2, …, Zm — соответствующие функции, характеризующие
условие решения поставленной задачи (ограничения);
xj — искомые величины, содержащие решение задачи.
Целевая функция задается в виде:
y = f(x1, x2, …, xn). (6.41)
Причем по крайней мере одна из функций y, Z1, Z2, …, Zm —
нелинейная.
Методами нелинейного программирования решаются задачи
распределения неоднородных ресурсов.
Пусть имеется m разнородных ресурсов, которые предполагается
реализовать для бизнеса в n регионах страны.
Известны оценочные возможности (вероятности) начать бизнес
в j-м регионе (Pj), а также эффективности использования i-го
ресурса в n-м регионе (Wij).
Распределение ресурсов по регионам характеризуется так называемым
параметром управления (hij):
h
i
j
ij 
0, если -й ресурс не направляется
в -й регион,
1, если -й ресурс направляется
в -й регион.
i
j



!

160 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Необходимо распределить ресурсы по регионам таким образом
(выбрать такие значения hij), чтобы величина полной вероятности
достижения цели Рц была максимальной:
Р P h j ij ij
i
m
j
n
ц  
»
# $
%
& ‘

 
 1 ( 1
1 1
( ) max. (6.42)
Должно выполняться также ограничение
h i m ij
j
n
 
 
1 12
1
, , , . . . , . (6.43)
Это ограничение означает, что каждый из m ресурсов обязательно
должен назначаться в какой-либо из регионов.
Ниже приводится ряд типовых задач, решаемых с помощью
нелинейного программирования, которые иллюстрируют его возможности
и приемы решения.
Пример 6.5
Собственник располагает четырьмя видами разнородных ресурсов,
которые можно реализовать для бизнеса в четырех регионах
страны (m = n = 4). Оценочные возможности (вероятности)
начать бизнес в j-м регионе (Pi) заданы табл. 6.16.
Таблица 6.16
Вероятности начать бизнес в регионе
Регионы 1 2 3 4
Вероятности (Pj) 0,2 0,4 0,3 0,1
Эффективности при использовании i-го ресурса в j-м регионе
(Wij) заданы табл. 6.17.
Таблица 6.17
Эффективность использования ресурсов
Номер ресурса
Номер региона
1 2 3 4
1 0,81 0,65 0,32 0,47
2 0,66 0,51 0,19 0,75
3 0,32 0,17 0,39 0,15
4 0,43 0,46 0,58 0,60
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 161
Необходимо распределить ресурсы по регионам таким образом,
чтобы полная вероятность достижения цели деятельности
(успеха) оказалась максимальной. При этом каждый ресурс должен
быть обязательно распределен в каком-либо регионе.
Решение
Рассмотрим наиболее простой случай, когда в каждый из регионов
может быть направлено не более одной единицы ресурса.
Задача нелинейного программирования при этом может быть
сведена к одному из частных случаев задачи линейного программирования.
При этом
(1 ) 1
1 1
  
 
( h h ij ij
i
m
ij ij
i
m
) ) (6.44)
и
P hP ij ij
i
m
j
n
об 
 
 )
1 1
. (6.45)
В нашем случае m = n. Решение при этом сводится к составлению
матрицы A= Pi ij ) и выбору из каждой ее строки и каждого
столбца по одному элементу таким образом, чтобы сумма их оказалась
наибольшей. Это один из частных случаев задачи линейного
программирования.
Вычислительную процедуру удобно выполнить с помощью
следующего метода.
Вначале рассчитываются элементы матрицы
A= Pi ij ) . . .103 .
Регионы (столбцы)
A=
1 2 3 4
162 260 96 47 1