14 Март 2011

Курс предпринимательства




который вследствие более рационального распределения специалистов
будет лучше исходного (табл. 6.4).
Общая стоимость брака по первому плану (у) составляла:
y Cx ij
j
n
ij
i
m
1
1 1
  8 2 4 20 3 9 2 10 3 12
 

2 7 8 12 5 4  309.
После улучшения плана стоимость брака y уменьшилась на
следующую величину:
у = С21h1 — C22h1 + C42h1 — C41h1 = h1 (C21 — C22 + C42 — C41) =
= (3 — 3 + 5 — 8) 9 = 27.
Общая стоимость брака по второму плану (y2) будет: y2 = y1 –
– у = 309 – 27 = 282.
148 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
При проверке второго плана на оптимальность устанавливаем,
что условие оптимальности не соблюдено в клетках А1Б5 и А4Б3,
причем последняя из них имеет наибольшую разность между
псевдостоимостью и стоимостью. Строим контур относительно
указанной клетки (см. табл. 6.5). Величина дополнительного количества
рабочих h2 = 3.
После перераспределения рабочих получим третий план
(табл. 6.6), который экономичнее второго на величину у: у =
= (С43 – С41 + С21 – С23)h2 = (4 – 8 + 3 – 2) 3 = –9.
Таблица 6.6
Третий план (оптимальный)
Бригады
Виды работ
Б1
24
Б2
15
Б3
10
Б4
20
Б5
7
uAi
А1
22
8 < 12 8
2
7 < 10 4
20
7 < 9
0
А2
19
3
12
3 = 3 2
7
–1 < 6 2 < 10
–5
А3
19
3
12
3 < 7 2 < 10 –1 < 3 2 = 2
–5
А4
16
5 < 8 5
13
4
3
1< 3 4 < 5
– 3
uБj 8 8 7 4 7
Стоимость брака по третьему плану, таким образом, равна: у3 =
= y2 – у = 282 – 9 = 273.
Проверка условия оптимальности показывает, что третий
план является оптимальным.
Заметим, что оптимизация плана распределения рабочих-специалистов
по видам работ привела к сокращению брака (по его
стоимости) на 12%
309 273
309
100
 
 

 
. И это улучшение качества достигнуто
без ввода каких-либо дополнительных ресурсов, исключительно
за счет составления обоснованного плана.
Пример 6.4
Имеется m (i = 1, 2, ..., m) инвестиционных возможностей (вариантов
проектов), которые можно реализовать на n (j = 1, 2, ..., n)
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 149
объектах. Эффективность реализации каждой инвестиции на каждом
из объектов (Рi) задана табл. 6.7.
Таблица 6.7
Эффективности реализации инвестиционных проектов
Инвестиционные
проекты (i)
Объекты (j)
I II III IV V
1 0,12 0,02 0,50 0,43 0,15
2 0,71 0,18 0,81 0,05 0,26
3 0,84 0,76 0,26 0,37 0,52
4 0,22 0,45 0,83 0,81 0,65
5 0,49 0,02 0,50 0,25 0,27
Целевая функция, подлежащая максимизации (y), будет:
y Px ij
j
n
ij
i
m

 

1 1
, (6.36)
где хij — искомые распределения инвестиций по объектам.
Таким образом, по смыслу, величина y есть ожидаемый результат
от осуществления всех инвестиционных проектов. Ограничения
в данном случае будут:
x i m ij
i
m
 
 
1 12
1
( , , . . . ), (6.37)
означающее, что должны быть реализованы все проекты, и
x j n ij
j
n
 
 
1 12
1
( , , . . . ), (6.38)
означающее, что на каждом объекте может быть реализован лишь
один проект. Кроме того, очевидно, что
xij
0. (6.39)
Необходимо распределить проекты по объектам таким образом,
чтобы суммарная эффективность от реализации всех проектов
была максимальной.
Решение
Оптимизируемая функция, а также ограничивающие ее условия
соответствуют данным, приведенным выше, при постановке
150 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
транспортной задачи. Это дает возможность применить метод потенциалов
(несколько его видоизменив).
По аналогии с транспортной задачей вероятности поражения
играют роль стоимости перевозок; каждой ракете соответствует
как бы единичный запас груза, каждая цель нуждается в единице
груза.
Исходя из сказанного, представим условие примера 6.4 в виде
табл. 6.8.
Вначале составим исходный план, заполняя в первую очередь
те клетки, где эффективность выше. Заполнение начинаем с первой
строки. Схематическое изображение полученного исходного
плана дано на рис. 6.2. Для первого плана математическое ожидание
числа пораженных целей
у1 = 0,50 + 0,71 + 0,76 + 0,81 + 0,27 = 3,05.
Таблица 6.8
Условие примера 6.4
Инвестиционные
проекты
Объекты
I
б1 = 1
II
б2 = 1
III
б3 = 1
IV
б4 = 1
V
б5 = 1
ai
1
а1 = 1
0,12 0,02 0,50
1
0,43 0,15 1
2
а2 = 1
0,71
1
0,18 0,81 0,05 0,26
1
3
а3 = 1
0,84 0,76
1
0,26 0,37 0,52
1
4
а4 = 1
0,22 0,45 0,83 0,81
1
0,65
1
5
а5 = 1
0,49 0,02 0,50 0,26 0,27
1 1
бj 1 1 1 1 1 1
Чтобы улучшить исходный план методом потенциалов, прибегаем
к следующему искусственному приему.
Внесем дополнительные «перевозки», выраженные в величинах
, в каждую строку плана, одновременно изменив для сбалансирования
плана единицы перевозок, стоящие в соответствующих
вертикалях и горизонталях.
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 151
Для того чтобы такие действия не вызывали искажения плана,
величина  считается сколь угодно малой, и поэтому для плана добавление
или исключение ее оказывается несущественным.
Перепишем исходный план с учетом вышеизложенных изменений
(табл. 6.9).
Проверим первый план на оптимальность аналогично тому,
как это делалось в предыдущих задачах.
Здесь условие оптимальности не соблюдается в тех клетках,
где псевдостоимости меньше, чем стоимости (в клетках 1—II,
1—IV, 1—V, 2—IV, 2—V, 3—V).
Наибольшая разность в клетке 1—IV, в которую нужно внести
дополнительную «перевозку» h1. Относительно указанной клетки
строим контур. Величина h1 = .
После перераспределения груза в контуре получим второй
план, улучшенный по сравнению с исходным (табл. 6.10).
Проверим полученный план на оптимальность. Обнаружив,
что он неоптимален, произведем его улучшение путем построения
контура относительно свободной клетки 2—V.
При этом h2 = .
Перейдем к третьему плану (табл. 6.11).
Дальнейшее улучшение плана выполняется аналогичным путем.
Улучшенные планы сведены в таблицы. Четвертый — в
табл. 6.12, пятый — в табл. 6.13, шестой — в табл. 6.14.
Последний, шестой план является оптимальным, ибо все разности
между псевдостоимостями и стоимостями положительные.
Перепишем оптимальный план, исключив из него сколь угодно
малые величины  (табл. 6.15).
152 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
I II III IV V
1 2 3 4 5
объекты
проекты
Рис. 6.2
Таблица 6.9
Первый план (исходный)
Инвестиционные
проекты
Объекты
I II III IV V ai UAi
1
0,12
 – h1
–0,41 < 0,02 0,50
1
–0,80 < 0,43
h1
–96 < 0,15
1 –  0
2
0,71
1– + h1
0,18
2 – h1
1,09 < 0,81 –0,21 < 0,05 –0,37 < 0,26
1 +  0,59
3
1,29 > 0,84 0,76
1 – 2 + h1
1,67 > 0,26 0,37
3 – h1
0,21 < 0,52
1 +  1,17
4
1,73 > 0,22 1,20 > 0,45 2,11 > 0,83 0,81
1 – 3
0,65
4 1 +  1,61
5
1,35 > 0,49 0,82 > 0,02 1,73 > 0,50 0,43 > 0,26 0,27
1 + 
1 +  1,23
бj 1 1 1 1 1 + 5 5 + 5
UБj 0,12 –0,41 0,50 –0,80 –0,96
Таблица 6.10
Второй план (улучшенный)
Инвестиционные
проекты
Объекты
I II III IV V ai UAi
1
1,35 > 0,12 0,82 > 0,02 0,50
1
0,43

0,27 > 0,15
1 + 
0
2
0,71
1
0,18
–h2
–0,14 < 0,81 –0,21 < 0,05 –0,37 < 0,26
h2 1 +  –0,64
3
1,29 > 0,84 0,76
1–+h2
0,44>0,26 0,37
2–h2
0,21 < 0,52
1 +  –0,06
4
1,73 > 0,22 1,20 > 0,45 0,88 > 0,83 0,81
1 – 3 + h2
0,65
4 – h2 1 +  0,38
5
1,35 > 0,49 0,82 > 0,02 0,50 = 0,50 0,43 > 0,26 0,27
1 +  1 +  0
бj 1 1 1 1 1+5 5 + 5
UБj 1,25 0,82 0,50 0,43 0,27
Таблица 6.11
Третий план (улучшенный)
Инвестиционные
проекты
Объекты
I II III IV V ai UAi
1
0,72 > 0,12 0,82 > 0,02 0,50
1 – h3
0,43
 + h3
0,27 > 0,15
1 + 
0
2
0,71
1
0,81 > 0,18 0,49 < 0,81
h3
0,42 > 0,05 0,26
 – h3 1 +  –0,01
3
0,66 < 0,84 0,76
1
0,44 > 0,26 0,37

0,21 < 0,52
1 +  –0,06
4
1,10 > 0,22 1,20 > 0,45 0,88 > 0,83 0,81
1 – 2 – h3
0,65
3 + h3 1 +  0,38
5
0,72 > 0,49 0,82 > 0,02 0,50 = 0,50 0,43 > 0,26 0,27
1 +  1 +  0
бj 1 1 1 1 1 + 5 5 + 5
UБj 0,72 0,82 0,50 0,43 0,27
Таблица 6.12
Четвертый план (улучшенный)
Инвестиционные
проекты
Объекты
I II III IV V ai UAi
1
0,40 > 0,12 0,82 > 0,02 0,50
1 –  – h4
0,43
2 + h4
0,27 > 0,15
1 +  0
2
0,71
1 – h4
1,13 > 0,18 0,81
 + h4
0,74 > 0,05 0,58 > 0,26
1 +  –0,31
3
0,34 > 0,84
h4
0,76
1
0,44 > 0,26 0,37
 – h4
0,21 < 0,52
1 +  –0,06
4
0,78 > 0,22 1,20 > 0,45 0,88 > 0,83 0,81
1 – 3
0,65
4 1 +  0,38
5
0,40 > 0,49 0,82 > 0,02 0,50 = 0,50 0,43 > 0,26 0,27
1 +  1 +  0
бj 1 1 1 1 1 + 5 5 + 5
UБj 0,40 0,82 0,50 0,43 0,27
Таблица 6.13
Пятый план (улучшенный)
Инвестиционные
проекты
Объекты
I II III IV V ai UAi
1
0,40 > 0,12 0,32 > 0,02 0,50
1 – 2
0,43
3
0,27 > 0,15
1 + 
0
2
0,71
1 – 
0,63 > 0,18 0,81
2
0,74 > 0,05 0,58 > 0,26
1 +  0,31
3
0,84

0,76
1
0,94 > 0,26 0,87 > 0,37 0,71 > 0,52
1 +  0,44
4
0,78 > 0,22 0,70 > 0,45 0,88 > 0,83 0,81
1 – 3
0,65
4 1 +  0,38
5
0,40 > 0,49
h5
0,32 > 0,02 0,50 = 0,50 0,43 > 0,26 0,27
1 +  1 +  0
бj 1 1 1 1 1 + 5 5 + 5
UБj 0,40 0,32 0,50 0,43 0,27
Таблица 6.14
Шестой план (оптимальный)
Инвестиционные
проекты
Объекты
I II III IV V ai UAi
1
0,40 > 0,12 0,32 > 0,02 0,50

0,43
1
0,18 > 0,15
1 + 
0
2
0,71
2
0,63 > 0,18 0,81
1 – 
0,74 > 0,05 0,49 > 0,26
1 +  0,31
3
0,84

0,76
1
0,94 > 0,26 0,87 > 0,37 0,62 > 0,52 1 +  0,44
4
0,87 > 0,22 0,79 > 0,45 0,97 > 0,83 0,90 > 0,81 0,65
1 +  1 +  0,47
5
0,49
1 – 3
0,41 > 0,02 0,59 > 0,50 0,52 > 0,26 0,27
4 1 +  0,09
бj 1 1 1 1 1 + 5 5 + 5
UБj 0,40 0,32 0,50 0,32 0,18
Таблица 6.15
Оптимальный план
Инвестиционные
проекты
Объекты
I II III IV V
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1
Графически оптимальный план распределения проектов показан
на рис. 6.3.
НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПЛАНИРОВАНИЕ)
Нелинейное программирование (планирование) — математические
методы отыскания максимума или минимума функции при
наличии ограничений в виде неравенств или уравнений.
Максимизируемая (минимизируемая) функция представляет собой
принятый критерий эффективности решения задачи, соответствующий
поставленной цели. Он носит название целевой функции.