14 Март 2011

Курс предпринимательства




перекрестной эластичности спроса зависит от степени
взаимной заменяемости этих двух товаров. Они могут быть взаимозаменяемыми
(тогда Епс > 0), взаимодополняемыми (Епс < 0) и
нейтральными (Епс = 0).
Пример 5.11
В табл. 5.5 приведен ряд товаров и в пересечениях их наименований
с соответствующими наименованиями цифрами показано,
какие из них взаимозаменяемые (З), взаимодополняемые (Д) и
нейтральные (Н).
Таблица 5.5
Перекрестная эластичность спроса

п/п Товары (продукты) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 Хлеб + Д Н Д Д Д З Н Д Д Д Н
2 Масло Д + Н Д Д Д Д Н Н Н Н Н
3 Вино Н Н + Д Н Н Н Д Н Н Н З
4 Мясо Д Д Д + З Д Д Д З З З Д
5 Рыба Д Д Д З + Д Д Н З З Н Д
6 Овощи Д Д Н Д Д + Д Н Д Д Д Д
7 Рис З Д Н Д Д Д + Д Д Д Н Н
8 Фрукты Н Н Д Н Н Н Н + Н Н Н Н
9 Мясные консервы Д Н Н З З Д Д Н + З З Д
10 Рыбные консервы Д Н Н З З Д Д Н З + Н Д
11 Грибы Д Д Н З Н Д Н Н Н + Н
12 Пиво Н Н З Д Д Д Н Н Д Д Д +
С помощью данных табл. 5.5 можно ответить на вопрос, как
меняется спрос на один из двух рассматриваемых товаров при изменении
цены другого.
Глава 5. Экономический механизм предпринимательской деятельности 103
104 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Рис. 5.10, д
Рис. 5.10, г
Рис. 5.10, б
Рис. 5.10, в
Рис. 5.10, а
Так, например, при повышении цены хлеба спрос на взаимозаменяемый
товар (рис) также повысится, спрос на взаимодополняемый
товар (масло) может упасть (при повышении цены хлеба
спрос на него упадет), а спрос на нейтральный товар (вино) останется
неизменным.
Эластичность спроса по цене зависит также от времени, в течение
которого он действует, т. е. на которое рассчитана цена.
С увеличением этого времени спрос становится более эластичным,
а соответствующая ему линия на графике — более пологой
(рис. 5.11).
На графике сп 1 — спрос на товар, например на жилье, за месяц,
а сп 2 — за год. График говорит о том, что при определении
цены жилья за 1 год спрос зависит от цены в большей степени,
чем при определении ее за 1 месяц. Дело в том, что чем больше
время, тем большую роль играет цена (при плате за 1 месяц менее
важно, чем при плате за 1 год, сколько стоит товар).
Эластичность предложения по цене показывает, как меняется
величина предложения при изменении цены товара.
Коэффициенты эластичности предложения по цене показывают
процентное изменение величины предложения при изменении
цены на 1%.
Главное влияние на коэффициенты эластичности по цене
оказывает фактор времени. Чем длительнее промежуток времени,
в течение которого продавец (производитель) товара может
предлагать свой товар, тем более эластично предложение, так
Глава 5. Экономический механизм предпринимательской деятельности 105
Рис. 5.11
как продавец успевает лучше перераспределить ресурсы в нужном
направлении и поэтому меньше теряет.
Большая эластичность предложения по цене характерна для
скоропортящихся, сезонных и остромодных товаров в силу необходимости
их реализации в ограниченные сроки.
Совместное рассмотрение спроса и предложения. Равновесная цена
Совместное рассмотрение спроса и предложения начнем с
анализа данных табл. 5.6, где представлены спрос и предложение
на мороженое за один день.
Таблица 5.6
Цена за одну порцию,
усл. ден. ед.
Кол-во порций мороженого,
покупаемых за день
(величина спроса)
Кол-во порций мороженого,
предлагаемых за день
(величина предложения)
600 60 —
650 35 25
700 25 40
750 15 50
800 10 60
По данным табл. 5.6 построим математическую модель — график
спроса и предложения на мороженое за один день (рис. 5.12).
106 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Рис. 5.12
С помощью данной модели легко проследить динамику изменения
спроса и предложения на товар и формирование его рыночной
цены.
Цена, соответствующая точке на графике, находящейся на пересечении
линии спроса и предложения, называется равновесной.
В данном случае она равняется 668 усл. ден. ед. Это та цена, по которой
будет осуществляться купля-продажа товара при данных
спросе и предложении, которые равны 30 порциям. Действительно,
стоит продавцу поднять цену товара выше равновесной, например
700 усл. цен. ед., как соответствующая ей величина спроса
упадет до 25 порций. Но при этом до такой же величины должно
будет упасть и предложение, что соответствует цене предлагаемого
товара в 650 усл. ден. ед. Уменьшение цены предлагаемого товара
вызовет рост величины спроса, которая будет расти до тех
пор, пока не приведет цену в равновесную точку; после равновесной
точки дальнейший рост спроса будет ограничиваться падением
цены и связанного с ним предложения и т. д. Таким образом,
приход цены в равновесную точку осуществляется путем ее затухающих
колебаний около равновесной точки. То же самое произойдет
и при первоначальном установлении цены ниже равновесной
точки — соответствующие изменения величин спроса и предложения
возвратят цену в точку равновесия.
§ 5. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЫНОЧНОЙ КОНЪЮНКТУРЫ
Целью анализа рыночной конъюнктуры является установление
фактов и размеров затоваривания и дефицита, изучение потребительского
поведения на основе теории полезности, а также
расчеты величин спроса и предложения товаров.
Затоваривание и дефицит товаров
Рассмотренная схема (рис. 5.12) позволяет наглядно представить
себе сущность таких важных рыночных явлений, как затоваривание
и дефицит товаров.
Затоваривание появляется в том случае, когда продавец устанавливает
цену выше равновесной (рис. 5.13): образующееся при
этом отношение между линиями спроса и предложения показывает,
какое количество предлагаемого продавцом по данной цене
товара не обеспечивается спросом покупателя. Это и есть величина
затоваривания. Так, к примеру, если начать продавать мороженое
по цене 750 усл. ден. ед. за порцию, то спрос упадет до 17 порций,
а предложение вырастет до 50 порций. Разность 50 – 17 и показывает
величину затоваривания: 33 порции.
Глава 5. Экономический механизм предпринимательской деятельности 107
Дефицит появляется в том случае, когда продавец устанавливает
цену ниже равновесной (рис. 5.13): образующееся при этом
отстояние между линиями предложения и спроса показывает,
какого количества товара не хватает, чтобы удовлетворить спрос.
Это и есть дефицит. Так, например, если начать продавать мороженое
по цене 637,5 усл. ден. ед., то спрос повысится до 40 порций,
а предложение упадет до 20 порций. Разность 40 – 20 и показывает
величину дефицита: 20 порций.
Теория полезности, бюджетная линия и спрос
Особое значение для анализа покупательского поведения имеет
реакция покупателя на товар. Эта реакция проявляется в выборе
товара и его марки, выборе продавца, времени и объема покупки
(см. рис. 10.1). Большой интерес представляет и реакция покупателя
на уже сделанную покупку. Желательно, чтобы последняя
оставалась положительной. «Наша лучшая реклама — довольный
клиент». Анализ реакции покупателя связан с изучением дальнейшей
судьбы купленного товара, от которой во многом зависят последующие
покупки (например, они зависят от возможности ремонта
товара, его утилизации и т. д.).
Ряд характеристик покупательского решения связан с качественно
новыми товарами. Элемент существенной новизны придает
важность процессу восприятия, который здесь зависит в первую
очередь от осведомленности покупателя о новшестве, его способности
должным образом оценить новацию, проникнуться к ней
интересом, желанием испытать новый товар (и себя).
108 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Рис. 5.13
Следует иметь в виду, что в отношении к новым товарам больше
чем обычно проявляются индивидуальные различия людей.
Различия в отношении покупателей к покупке проявляются в
так называемом потребительском поведении.
Под потребительским поведением понимается решение потребителей
о распределении своего дохода между различными товарами
и услугами, которые они собираются купить.
Изучение потребительского поведения — важнейшая задача
бизнесмена. Знание этого поведения дает ему возможность наилучшим
образом распределить свои ресурсы для получения максимальной
прибыли при продаже товаров и услуг.
Важнейшим понятием, позволяющим заранее рассчитать потребительское
поведение, является полезность.
Полезность — это способность товара, услуги удовлетворить
покупателя, доставить ему удовольствие. Полезность показывает
отношение потребителя к товару, его реакцию на товар.
Полезность — это одновременно и объективное, и субъективное
понятие. Так, любому человеку объективно полезны еда,
одежда, жилье. Но каждый вид этих товаров разным людям субъективно
полезен по-разному. Если человек не выносит какого-
либо продукта питания или вида одежды, они ему субъективно
бесполезны. Особенно это касается произведений искусства: картина,
кинофильм, спектакль субъективно по-разному оцениваются
разными потребителями.
Поскольку полезность показывает отношение потребителя к
товару, а это отношение может быть различным, зависимости
между количеством товара и его полезностью бывают разными.
Эти зависимости характеризуются нкциями полезности.
Самая простая функция полезности соответствует так называемому
ровному (или пропорциональному) отношению (рис. 5.14).
Экономическая модель в данной функции соответствует выражению
П(К) = аК, (5.1)
где П(К) — полезность приобретенного товара; К — количество
приобретаемого (производимого) товара; а — коэффициент пропорциональности.
Смысл данного отношения в том, что полезность оценивается
пропорционально количеству купленного (произведенного) товара:
если, скажем, товара куплено в два раза больше, то и полезность
его вырастает в два раза.
Более сложный характер имеет функция полезности, соответствующая
так называемому осторожному отношению (рис. 5.15).
Глава 5. Экономический механизм предпринимательской деятельности 109
Экономическая модель при этом соответствует функции
П(К) = 1 – L–К, (5.2)
где L — основание натурального логарифма.
Смысл данного отношения в том, что полезность больших
приобретений приуменьшается, а «вредность» больших потерь
преувеличивается. Так обычно ведет себя осторожный покупатель,
стремясь избежать значительных рисков.
Следующая функция полезности описывает прямо противоположное
предыдущему — смелое отношение (рис. 5.16). Здесь
экономическая модель выражается равенством
110 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Рис. 5.14
Рис. 5.15
П(К) = LК – 1. (5.3)
Смысл данного отношения — описание характера смелого покупателя,
не боящегося большого риска: полезность больших
приобретений преувеличивается, а «вредность» больших потерь
приуменьшается.
Особый интерес представляют функции полезности, описывающие
поведение покупателей, располагающих различными денежными
средствами.
Так, отношению «богатого» соответствует функция, показанная
на рис. 5.17. Такой покупатель обычно преуменьшает и полезГлава
5. Экономический механизм предпринимательской деятельности 111
Рис. 5.16
Рис. 5.17
ность больших покупок, и «вредность» больших потерь (как, соответственно,
осторожный и смелый покупатели, но по другой причине).
Данная функция описывается соответствующими, уже знакомыми
нам графиками.
Отношение «бедного» характерно преувеличением малых приобретений
и приуменьшением больших потерь (с подобным мы
встречались для смелого и осторожного отношений соответственно).
Этому отвечают и уже знакомые нам графики (рис. 5.18).
Возможно также покупательское поведение, которое можно
назвать гибким, или дифференцированным (в просторечии — обывательским).
Смысл его в том, что до определенный цены товара потребитель
ведет себя смело, а при дальнейшем росте цены — осторожно.
Соответствующий вид имеет и функция, описывающая
данное отношение (рис. 5.19).
Определенное значение для практики имеет так называемое
«призовое» отношение, описанное функцией
П(К) = Пр + аК, (5.4)
где Пр — величина приза, получаемого потребителем при приобретении
товара.
Смысл данного отношения (рис. 5.20) в том, что сам факт покупки
дает потребителю определенную полезность («приз») независимо
от количества приобретенного товара. (Можно также говорить
и о «наказании» — вреде.) Кроме того, предполагается, что
потребитель проявляет к товару одно из рассмотренных выше отношений,
например «ровное» (см. рис. 5.14).
112 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Рис. 5.18.
Наконец, может иметь место отношение целевое. Оно характеризуется
функцией
П(К) = Ц, (5.5)
где Ц — сумма, ниже и выше которой приобретение товара не
принесет пользы («вреда»).
Смысл данного отношения (рис. 5.21) в том, что описывается
поведение потребителя, для которого важно получить лишь определенную
полезность, например купить только конкретный товар
по фиксированной цене (меньшая сумма для покупки мала и не
устраивает, а большая — уже чрезмерна).
Глава 5. Экономический механизм предпринимательской деятельности 113
Рис. 5.19
Рис. 5.20
Изучение потребительского поведения с помощью функций
полезности дает возможность прогноза поведения различных покупателей
по отношению к различным товарам и ситуациям. Так,
можно заранее с определенной вероятностью для определенных
групп потребителей предсказать, какие товары будут пользоваться
у них спросом, а какие нет, в каких случаях будет делаться покупка,
что нужно сделать, чтобы поднять покупательский спрос, и т. д.
Закон убывания предельной полезности
При анализе покупательского поведения с помощью функций
полезности следует иметь в виду действие особого закона — закона
убывания предельной полезности. Суть его в том, что с каждой
новой единицей приобретаемого товара полезность уменьшается:
полезность второй единицы товара меньше, чем первой, полезность
третьей единицы меньше, чем второй, и т. д.
Под понятием «предельная» понимается не просто полезность,
а то дополнительное удовлетворение, которое получается
от одной добавочной единицы потребленного товара.
Представим себе человека, который ест котлеты. Вероятно, от
каждой последующей съеденной котлеты он получит меньше
удовлетворения, чем от предыдущей, и наступит момент, когда
дополнительная полезность от последующей единицы товара станет
равной нулю — приходит насыщение.
Вот еще несколько примеров предельной полезности.
На вопрос: что полезнее — бриллианты или вода, ответ не может
быть однозначным: в безводной пустыне — видимо, вода, на
рынке — алмаз.
114 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Рис. 5.21
Предельная же полезность всегда выше у алмаза: каждая его
дополнительная единица теряет в полезности меньше, чем единица
воды. Это одна из причин дороговизны алмазов по сравнению
с водой.
В этом же смысле можно говорить о том, что тысячная денежная
купюра значительно полезнее для простого смертного, чем
для миллиардера.
Проиллюстрируем табл. 5.7 закон убывания предельной полезности,
например, для человека, который ест бананы.
Таблица 5.7
Единица продукта (банан) Предельная полезность,
ютили*
Совокупная полезность,
ютили
Первый 15 15
Второй 9 24
Третий 4 28
Четвертый 0 28
Пятый –3 25
* Ютили — условная единица измерения полезности
Оперируя понятием «полезность», следует иметь в виду, что
это не нравственная, а экономическая категория. Поэтому такие,
с точки зрения общественной морали, вредные продукты, как табак,
алкоголь, наркотики, с экономических позиций могут оказаться
«полезными».
При определении своего потребительского поведения потребитель
(стихийно или сознательно) пользуется правилом максимизации
полезности. Суть его в том, что потребитель стремится
распределить свой доход на такой набор товаров, при котором
суммарная величина полезности окажется максимальной.
Пример 5.12
Потребитель собирается приобрести на сумму в 10 усл. ден.
ед., которой он располагает, набор из двух товаров:
— товар А по цене 1 усл. ден. ед. за штуку и
— товар Б по цене 2 усл. ден. ед. за штуку.
Необходимо найти такую комбинацию товаров, при которой
предельная полезность покупки окажется максимальной. Расчеты
максимальной суммарной предельной полезности от покупки набора
товаров на 10 усл. ден. ед. проиллюстрируем табл. 5.8.
Глава 5. Экономический механизм предпринимательской деятельности 115
Таблица 5.8
Единица
товара
Товар А по цене
1 усл. ден. ед. за шт.
Товар Б по цене
2 усл. ден. ед. за шт.
Предельная полезность Предельная полезность
в ютилях в расчете: ютиль
на 1 усл. ден. ед. в ютилях в расчете: ютиль
на 1 усл. ден. ед.
Первая 10 10 24 12
Вторая 8 8 20 10
Третья 7 7 18 9
Четвертая 6 6 16 8
Пятая 5 5 12 6
Шестая 4 4 6 3
Седьмая 3 3 4 2
Ход рассуждений при этом будет следующий.
Прежде всего целесообразно купить одну штуку товара Б за
2 усл. ден. ед., ибо это обеспечит наибольшую возможную предельную
полезность первой покупки в расчете на 1 усл. ден. ед.
В качестве второй штуки можно купить товар А либо товар Б,
так как тот и другой обеспечивают предельную полезность в
10 ютилей (для товара А это — первая единица, для Б — вторая,
поскольку первая уже куплена).
Предположим, мы остановили свой выбор на товаре А, тогда в
качестве третьей штуки товара будет куплен товар Б, и теперь у нас
будет всего одна штука товара А (10 ютилей на 1 усл. ден. ед.) и две
штуки товара Б (10 + 12 = 22 ютиля на 1 усл. ден. ед.). Всего же пока
мы потратили 1 + 2 2 = 5 усл. ден. ед. на три штуки товара.
В качестве следующей, четвертой штуки надо брать товар Б
(так как у него предельная полезность следующей, третьей единицы
товара в расчете на 1 усл. ден. ед. — наибольшая из всех оставшихся
и составляет 9 ютилей). После того общий расход составит
5 + 2 = 7 усл. ден. ед.
В качестве пятой штуки товара можно брать как А, так и Б.
Скажем, берем А, тогда шестой будет Б. Это обойдется в 1 + 2 =
= 3 усл. ден. ед. В итоге были израсходованы все 10 усл. ден. ед.
(5 + 2 + 3) и куплено 2 штуки товара А и 4 штуки товара Б (2 1 +
+ 4 2 = 10 усл. ден. ед.). Суммарная предельная полезность при
этом равна: 10 + 8 + 24 + 20 + 18 + 16 = 96 ютилей. Это максимальная
величина.
116 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Весьма наглядно картину потребительского поведения на основе
анализа полезности дают кривые безразличия и карты безразличия.
Кривые безразличия и карты безразличия
Кривые безразличия строятся на основе данных о полезности
различных товаров и характеризуют субъективное предпочтение
потребителя по отношению к этим товарам.
На рис. 5.22 показана кривая безразличия для товаров А и Б.
Она соответствует всем возможным комбинациям этих товаров,
которые способны дать потребителю равную полезность. Иными
словами, для всех точек этой кривой существует равенство полезностей
товаров А и Б: потребителю как бы безразлично, какой набор
товаров покупать (отсюда и название — кривая безразличия).
Строить кривую безразличия будем на основе данных табл. 5.9, в
которой представлено сочетание товаров А и Б, дающее одинаковые
полезности.
Таблица 5.9
Точки на кривой безразличия Количество единиц
товара А
Количество единиц
товара Б
а 12 2
б 6 4
в 4 6
г 3 8
Глава 5. Экономический механизм предпринимательской деятельности 117
Рис. 5.22
Итак, по точкам, приведенным в табл. 5.10, строим кривую безразличия.
Данная кривая представляет собой график обратной пропорциональности
— нисходящую линию от оси количества товара
А к оси количества товара Б. Такой вид кривой соответствует тому
обстоятельству, при котором чем меньше мы приобретаем товара
А, тем большее количество товара Б (а значит, и большую полезность
от этого товара) можем получить. И получаем обратную картину,
если идем от товара Б к товару А. Выпуклый (к началу координат)
характер кривой объясняется тем, что, идя по кривой от
точки а к точке б, сначала мы теряем в количестве (а значит, и в полезности)
товара А больше, чем приобретаем товара Б. Затем,
пройдя точку б и идя дальше, мы наблюдаем изменение этой закономерности
на обратную: небольшим изменениям количества товара
А соответствуют большие изменения количества товара Б.
Кривая безразличия, как было показано, соответствует лишь
какому-либо одному значению полезности.
Ряд кривых безразличия, соответствующих разным полезностям
набора из двух товаров, образует карту безразличия (рис. 5.23).
Смысл карты безразличия в том, что она наглядно показывает,
как изменение полезности влияет на количественный состав набора
товаров: чем кривая безразличия правее, тем больше полезность
и соответствующее ей количество товаров.
Кривые и карты безразличия не дают ответа на вопрос, как отражаются
на потребительском поведении финансовые возможности
покупателя с учетом стоимости предлагаемых к продаже товаров.
Для решения этой задачи используется так называемая бюджетная
линия.
118 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Рис. 5.23
Бюджетная линия
Бюджетная линия показывает, какие количества комбинаций
из двух товаров могут быть приобретены при данных финансовых
возможностях (бюджете) покупателя.
Построение экономической модели — бюджетной линии —
начнем, как обычно, с соответствующей табл. 5.10, в которой
представлено сочетание товаров А и Б, доступных потребителю с
доходом 12 усл. ден. ед.
Таблица 5.10
Количество единиц
товара А (цена
1,5 усл. ден. ед.)
Количество единиц
товара Б (цена
1 усл. ден. ед.)
Суммарный расход на покупку
товаров А и Б, усл. ден. ед.
8 0 12 = 12 + 0 (8 1,5 + 0 1)
6 3 2 = 9 + 3
4 6 2 = 6 + 6
2 9 2 = 3 + 9
0 12 2 = 0 + 12
По данным табл. 5.10 рассчитан график бюджетной линии
(рис. 5.24).
Наклон бюджетной линии зависит от соотношения цен товаров.
При этом крутизна линии равна 1 усл. ден. ед./1,5 усл. ден. ед. = 2/3.
Крутизна показывает, от какого количества единиц товара А следует
Глава 5. Экономический механизм предпринимательской деятельности 119
Рис. 5.24
отказаться потребителю, чтобы получить дополнительное количество
единиц товара Б. Так, в данном случае потребитель сможет
приобрести дополнительно 3 единицы товара Б, если откажется
от 2 единиц товара А.
Отклонение бюджетной линии от начала координат зависит от
величины дохода покупателя. Построим на рис. 5.24 бюджетные
линии для доходов в два раза большего и в два раза меньшего, чем
рассмотренные выше (табл. 5.11).
Таблица 5.11
Величина дохода 24 усл. ден. ед. Величина дохода 6 усл. ден. ед.
Количество
единиц
товара А
Количество
единиц
товара Б
Суммарный
расход
Количество
единиц
товара А
Количество
единиц
товара Б
Суммарный
расход
16 0 24(161,5+01) 4 0 6(41,5+01)
12 6 24 3 1,5 6
8 12 24 2 3 6
4 18 24 1 4,5 6
0 24 24 0 6 6
Нанеся соответствующие бюджетные линии на график (рис. 5.24)
видим, что при увеличении дохода бюджетная линия смещается
вправо, а при уменьшении — влево.
Положение бюджетной линии на графике меняется также и
при изменении цен товаров. Если пропорционально меняются
цены обоих товаров, бюджетная линия смещается так же, как и
при изменении дохода: уменьшение цены равносильно увеличению
дохода, и наоборот.
Если цены меняются пропорционально, то это приводит к изменению
крутизны бюджетной линии: при относительно большом
изменении цены товара А бюджетная линия разворачивается
против часовой стрелки (на те же деньги теперь можно купить
больше товара А); при относительно большом изменении цены
товара Б — по часовой стрелке.
Построение бюджетных линий и изменение их положений
подкрепим еще одним примером.
Каждый из пяти студентов (назовем их А, Б, В, Г, Д) ежемесячно
получает от родителей 20 усл. ден. ед. на расходы, которые идут
на питание (П) и развлечения (Р). При этом каждый студент тратит
деньги, естественно, по-разному. В табл. 5.12 показано, как строится
бюджет студентов при определенной цене (Ц) и качестве потребляемых
продуктов питания и услуг (К) при расходовании 20 и
120 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
25 усл. ден. ед. на приобретение товаров и услуг — продуктов питания
и развлечений.
Таблица 5.12
Студенты
А Б В Г Д
Доход 20 ден ед. Доход 25 ден ед.
П Р П Р П Р П Р П Р
Ц К Ц К Ц К Ц К Ц К Ц К Ц К Ц К Ц К Ц К
0,5 40 0,5 40 0,5 40 1,0 20 1,0 20 0,5 40 0,4 50 0,4 50 0,5 50 0,5 50
По данным табл. 5.12 построен график рис. 5.25.
Анализ графика показывает следующее:
бюджетная линия А, соответствующая равным ценам и равным
количествам обоих товаров, равноудалена по осям х и y от
начала координат;
бюджетная линия Б, соответствующая первоначальной цене и
количеству развлечений, развернута относительно линии А по часовой
стрелке;
бюджетная линия В, соответствующая увеличению первоначальной
цены и продуктов и такому же сокращению их количества и
сохранению цены и количества развлечений, развернута относительно
линии А против часовой стрелки;
бюджетная линия Г, соответствующая уменьшенной цене на
продукты, увеличенному их количеству и таким же значениям цеГлава
5. Экономический механизм предпринимательской деятельности 121
Рис. 5.25
ны и количества развлечений, параллельна линии А и смещена от
нее вправо от начала координат;
бюджeтнaя линия Д, соответствующая увеличенному доходу
при сохранении цен на товары и развлечения и равном увеличении
их количества, совпадает с линией Г.
Итак, бюджетная линия и кривые безразличия дополняют
друг друга в анализе потребительского поведения: бюджетная линия
характеризует возможности потребителя с точки зрения сочетания
количества потребляемых им товаров при данных возможностях;
кривые безразличия оценивают сочетание количеств потребляемых
товаров с точки зрения их полезности.
Совместный анализ кривых безразличия и бюджетных линий
дает возможность рассчитать спрос. Вот как это делается.
На графике (рис. 5.26), по осям которого откладывается количество
модной одежды и книг, представляющих интерес для потребителя,
строится бюджетная линия и кривая безразличия таким
образом, что они имеют точку касания (точка 1 ).
Рассматривая на графике точки 1—6, соответствующие различным
сочетаниям количеств модной одежды и книг, можно
прийти к следующим выводам:
Точка 1: потребитель с максимальной полезностью удовлетворяет
свои потребности при данном доходе (бюджете).
Точка 2: потребитель получает только модную одежду.
Точка 3: потребитель не расходует весь свой доход и не получает
возможной для него полезности.
Точка 4: потребитель мог бы получить ту же полезность, что и в
точке 1, но ему это не позволяют сделать бюджетные возможности.
Точка 5: потребитель покупает только книги.
122 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Рис. 5.26
Точка 6: потребитель мог бы сделать более полезный набор
(по составу) товаров, но это выходит за пределы его бюджетных
возможностей.
Закрепим сказанное примером.
Пример 5.13
Необходимо с помощью бюджетной линии А (она соответствует
доходу 20 долларов и обеспечивает приобретение 40 единиц
продуктов питания по цене 0,5 усл. ден. ед. и 40 развлечений по
цене 0,5 усл. ден. ед.) и кривых безразличия проанализировать потребительское
поведение студента А (рис. 5.27).
Построим кривые безразличия с помощью табл. 5.13, в которой
представлен набор товаров и услуг, дающий разные полезности
(количество единиц).
Таблица 5.13
Набор I Набор II Набор III
Продукты
питания Развлечения Продукты
питания Развлечения Продукты
питания Развлечения
248
12
17
22
29
34
40
45
40
34
26
21
16
12
9754
10
12
14
17
20
25
30
37
43
50
40
35
30
25
20
16
14
12
10
8
12
14
16
18
21
27
33
38
44
50
45
40
35
30
25
20
17
15
13
12
Глава 5. Экономический механизм предпринимательской деятельности 123
Рис. 5.27
По данным табл. 5.13 на рис. 5.27 построены графики кривых
безразличия. Они образуют карту безразличия. С помощью карты
безразличия и бюджетной линии для студента А, нанесенной на
тот же рисунок, проанализируем его потребительское поведение.
Для этого зададимся рядом характерных точек на графике:
—точка 1 соответствует 50 единицам продуктов и 8 развлечениям;
—точка 2 соответствует 45 единицам продуктов и 4 развлечениям;
—точка 3 соответствует 12 единицам продуктов и 45 развлечениям;
—точка 4 соответствует 25 единицам продуктов и 16 развлечениям;
—точка 5 соответствует 21 единице продуктов и 11 развлечениям;
—точка 6 соответствует 20 единицам продуктов и 20 развлечениям.
Анализ совмещенного графика бюджетной линии и кривых
безразличия показывает:
124 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Рис. 5.28, а
Рис. 5.28, б
— точки 1, 2, 3, 4 дают полезность больше, чем может обеспечить
доход (бюджет);
— точка 5 дает полезность меньше, чем обеспечивает бюджет;
— полезность в точке 6 соответствует бюджетным возможностям,
это максимальная полезность, которая может быть получена
при данном доходе потребителя.
Бюджетная линия и кривые (карты) безразличия дают возможность
относительно просто построить кривую спроса. Делается
это так:
— по исходным данным на графике (рис. 5.28, а) строим бюджетную
линию (8—12) и кривую безразличия II, касательную к
ней в точке К;
— затем цена товара Б увеличивается в полтора раза с 1 до 1,5
усл. ден. ед., что соответствует новой бюджетной линии (8—8);
— находим точку касания К1 новой бюджетной линии и кривой
безразличия I, проведенной параллельно линии II;
— соответствующее точкам К и К1 количество товара Б проектируем
на график (рис. 5.28, б);
— слева на графике (рис. 5.28, б) строим шкалу цен товара Б,
включающую интересующие нас 1 и 1,5 усл. ден. ед;
— по точкам а и б, лежащим на пересечении соответствующих
цен и количеств товара Б, строим линию спроса.
Контрольные вопросы
1. Как моделируются производственные возможности?
2. В чем суть закона убывающей производительности факторов производства?
3. Опишите пути решения проблемы удовлетворения потребностей
общества для различных общественно-экономических формаций.
4. Определите понятия «спрос на товары», «величина спроса».
5. Определите понятия «предложение товаров», «величина предложения.
6. Сформулируйте законы спроса и предложения.
7. Что такое эластичность спроса?
8. Что такое эластичность предложения?
9. В чем экономический смысл затоваривания и дефицита?
10. Что такое полезность; какие существуют функции полезности?
11. В чем суть закона убывания предельной полезности?
12. Раскройте смысл кривых и карт безразличия, бюджетной линии и
их анализа.
Глава 5. Экономический механизм предпринимательской деятельности 125
ГЛАВА 6. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
§ 1. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Успешность решения подавляющего большинства экономических
задач зависит от наилучшего, наивыгоднейшего способа использования
ресурсов. В процессе экономической деятельности
приходится распределять такие важные ресурсы, как деньги, товары,
сырье, оборудование, рабочая сила и др. И от того, как будут
распределяться эти, как правило, ограниченные ресурсы, зависит
конечный результат деятельности, бизнеса.
Суть методов оптимизации заключается в том, что исходя из
наличия определенных ресурсов выбирается такой способ их использования
(распределения), при котором обеспечивается максимум
(или минимум) интересующего нас показателя.
При этом учитываются определенные ограничения, налагаемые
на использование ресурсов условиями экономической ситуации.
В качестве методов оптимизации в экономике находят применение
все основные разделы математического программирования
(планирования): линейное, нелинейное и динамическое.
Линейное программирование (планирование)
Линейное программирование (планирование) — математический
метод отыскания максимума или минимума линейной функции
при наличии ограничений в виде линейных неравенств или
уравнений. (Линейное здесь означает, что на графике функции
изображаются в виде прямых линий, соответствующих первым
степеням величин.)
Максимизируемая (минимизируемая) функция представляет собой
принятый критерий эффективности решения задачи, соответствующий
поставленной цели. Она носит название целевой функции.
Ограничения характеризуют имеющиеся возможности решения
зaдaчи.
Существо решения задач линейного программирования заключается
в нахождении условий, обращающих целевую функцию
в минимум или максимум.
Решение, удовлетворяющее условиям задачи и соответствующее
намеченной цели, называется оптимальным планом.
Линейное пpограммирование (планирование) служит для выбора
наилучшего плана распределения ограниченных однородных
ресурсов в целях решения поставленной задачи.
В общем виде постановка задачи линейного программирования
заключается в следующем.
Условия задачи представляются с помощью системы линейных
уравнений или неравенств, выражающих ограничения, налагаемые
на использование имеющихся ресурсов:
a x a x a x a x b
a x a x a x
j j n n
j j
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2


 

;




 
a x b
a x a x a x
n n
i i ij j
2 2
1 1 2 2
;
a x b
a x a x a x a x b
j
in n i
m m mj j mn n m



;
;
,
1 1 2 2
1
 
2, . . . , n i 2, . . . , m m n xj ;  , ; ;
,





1 0
(6.1)
где хj — искомые величины, содержащие решение поставленной
задачи; aij и bi — известные постоянные величины, характеризующие
условия задачи.
Целевая функция (линейная форма) задается в виде
y cx cx cx cx
j n
j j n n 


1 1 2 2
1 2
 
, , , ,
(6.2)
где сj — постоянные коэффициенты (коэффициенты стоимости).
Условия задачи (ограничения) могут быть заданы также в виде
неравенств. В этих случаях можно привести систему линейных
ограничений к виду (6.1), вводя в каждое линейное ограничение
дополнительные неотрицательные неизвестные
xn+1, xn+2, ..., xn+m.
Целевая установка оптимизации заключается в том, чтобы
свести ожидаемые при решении данной задачи издержки предприятий
к минимуму.
Общая математическая формулировка задачи соответствует
условиям (6.1) и (6.2).
Первая строка системы уравнений (6.1)
а11х1 + а12х2 + ... + a1jxj + ... + a1nxn = b1
в данном примере означает следующее:
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 127
а11 — количество единиц ресурсов вида 1 на первом предприятии;
а12 — количество единиц ресурсов вида 1 на втором предприятии
и т. п.;
b1 — общий ресурс ресурсов вида 1 (для всех предприятий);
х1, х2 и т. д. — искомое количество предприятий типов 1, 2
и т. д.
Вторая строка упомянутой системы уравнений содержит аналогичные
величины для ресурсов вида 2 и т. д. Функция цели соответствует
формуле (6.2). Требуется обратить в минимум величину
у = с1х1 + с2х2 + ... + сjхj + ... + cnxn,
где cj — показатель, характеризующий издержки предприятий.
Пусть m — общее число различных видов ресурсов, которыми
располагает собственник, а n — число типов предприятий, между
которыми эти ресурсы должны быть распределены. При этом известно,
какое количество однородных ресурсов различного вида
(i = 1, 2 ... n) может быть реализовано на каждом из предприятий
данного типа (j = 1, 2 ... n), а также общее количество ресурсов
данного вида (bi).
Известно также относительное значение издержек на каждом
из предприятий (сj).
Задача заключается в том, чтобы наилучшим (оптимальным)
образом распределить имеющиеся ресурсы по предприятиям, т. е.
найти неизвестные величины хj — требуемые для этого количества
предприятий данного типа.
Пример 6.1
Собственник располагает четырьмя видами ресурсов (m = 4).
Это, например, денежные средства, производственные помещения,
оборудование, сырье. Ресурсы необходимо распределить между
шестью предприятиями (n = 6). Предприятия различаются по экономическим
условиям деятельности: местам расположения, системам
налогообложения, стоимости энергии, оплатам труда и т. д., в
связи с чем имеют разные издержки производства. Относительные
уровни издержек заданы табл. 6.1.
Таблица 6.1
Относительные уровни издержек на предприятиях
Предприятия 1 2 3 4 5 6
Издержки 0,4 0,5 0,2 0,8 0,6 0,3
128 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Распределение ресурсов по предприятиям сопряжено с необходимостью
учета ряда ограничений, которые могут быть описаны
системой четырех уравнений с шестью неизвестными, аналогичной
системе (6.1):
1 й вид ресурсов
2 й вид ресурсов
 

4 16
2
1 2
2 5
x x
x x
;

 

10
2 6 76 3 4 5
;
3 й вид ресурсов ;
4 й вид ресурсо
x x x
в 4 3 24
0 12 4
1 2 6 x x x
x j j








;
( , , . . . , ).
(6.3)
Смысл первого уравнения в нашем примере в том, что ресурс
вида 1, общий ресурс которого составляет 16 единиц, может размещаться
в количестве 4 единиц на предприятии первого типа и 1 единицы
— на предприятии четвертого типа. Аналогично раскрывается
смысл второго и последующих уравнений. Последнее уравнение говорит
о том, что число предприятий не может быть отрицательным.
Необходимо определить, какое количество предприятий каждого
типа следует иметь, чтобы общие издержки были минимальными.
В соответствии с табл. 6.1 целевая функция, подлежащая оптимизации,
примет вид
у = 0,4х1 + 0,5х2 + 0,2х3 + 0,8х4 + 0,6х5 + 0,3х6. (6.4)
Решение
Решение задачи сводится к выполнению ограничений, заданных
уравнениями (6.3), с учетом условия минимизации выражения (6.4).
В нашем примере, когда n – m = 2, каждое из ограничительных
линейных уравнений (6.3), а также линейная функция (6.4)
могут быть представлены геометрически в двухмерном пространстве
(на плоскости).
Чтобы представить ограничения и целевую функцию на графике,
необходимо выразить все известные через независимые величины.
Например, х1 и х2, соответствующие координатным осям, относительно
которых будет производиться построение (рис. 6.1).
Из уравнений (6.3) следует:
x x x
x x
x x
x x x
3 1 2
4 1
5 2
6 1 2
8 12 16
16 4
10 2
24 4 3
 
 
 
  
; 
;
;
.




(6.5)
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 129
Целевая функция примет вид
у = –2,4х1 + 0,8х2 + 22,8. (6.6)
Из сопоставления уравнения (6.5) и последнего из ограничений
(6.1) xj
0 следует:
x
x
x x x
x x
x x
1
2
3 1 2
4 1
5 2
0
0
8 12 16 0
16 4 0
10 2 0

 

 

 

;
;
;
;
;
x x x . 6 1 2  24  4  3
0





(6.7)
Каждому из неравенств (6.7) на графике рис. 6.1 соответствует
полуплоскость, в пределах которой находятся все допустимые данным
неравенством значения переменной величины хj (j = 1, 2, ..., 6).
Так, неравенству х1
0 соответствует полуплоскость вправо от
оси х2 (граница ее заштрихована).
Неравенству х3 = 8х1 + 12х2 – 16
0 соответствует полуплоскость
вправо и вверх от линии граничного значения данного неравенства
(при х3 = 0). Уравнение этой линии
x x 1 2 3 / 2  2  0.
Таким же образом можно построить границы, определяемые
другими уравнениями.
130 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Рис. 6.1.
Неравенствам (6.7) соответствует некоторая область — шестиугольник
ABCDEF, образованный границами упомянутых выше
полуплоскостей. Эта область может быть названа областью допустимых
планов, поскольку любая точка в ее пределах отвечает требованиям
наложенных ограничений (6.3).
Из всех допустимых планов нас интересует оптимальный
план, при котором функция цели у достигает минимума.
Целевой функции соответствует семейство параллельных прямых.
Рассмотрим одну из них, проходящую через начало координат,
что будет иметь место при у = 22,8. При этом х2 = 3х1.
Интересующая нас прямая у = 22,8, как видно из рис. 6.1, имеет
наклон вправо от оси х2. Задаваясь различными значениями у, получим
семейство прямых линий, параллельных прямой у = 22,8, проходящей
через точку 0. При этом чем меньше будет значение у, тем,
очевидно, правее будет располагаться соответствующая прямая.
Поскольку мы добиваемся минимального значения у, то нас
будет интересовать прямая, расположенная в наибольшем удалении
вправо от прямой у = 22,8 и проходящая через многоугольник
ABCDEF, — прямая уmin.
Единственной точкой, соответствующей оптимальному плану,
будет та вершина многоугольника ABCDEF (рис. 6.1), которая одновременно
принадлежит области допустимых планов и отвечает
требованию минимизации целевой функции у, — вершина С. Из
уравнения прямой ВС, проходящей через точку С, следует, что
х1 = 4. Из уравнения прямой DC, проходящей через ту же точку,
следует, что x2 = 0.
Подставляя полученные значения х1 = 4 и х2 = 0 в уравнения
(6.5), определим величины остальных переменных, составляющих
оптимальный план:
х3 = 16;
х4 = 0;
х5 = 10;
х6 = 8.
Таким образом, оптимальный план будет следующим:
x
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
6
4
0
16
0
10
8











;
;
;
;
;
.
(6.8)
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 131
Линейная форма величины издержек при этом будет минимальной:
y   
24
10
4
8
10
0
228
10
132
10
13,2. (6.9)
На практике встречается ряд задач, аналогичных рассмотренному
примеру, но требующих максимизации целевой функции
(например, величины дохода или прибыли).
При решении этих задач целевая функция рассчитывается по
формуле, аналогичной (6.2):
y cx cx cx cx j j n n
*  * * * * , 1 1 2 2
 (6.10)
где у* — целевая функция, подлежащая максимизации. Отличие
заключается в том, что знаки перед всеми постоянными коэффициентами
меняются на обратные c c  j j
*   * .
Вычислительные методы линейного программирования
Рассмотренная геометрическая интерпретация задачи линейного
программирования возможна лишь при наличии двух независимых
переменных. При трех переменных наглядное представление
существенно усложняется, так как в этом случае имеет место
некоторый выпуклый многогранник в трехмерном пространстве,
соответствующий объему допустимых планов.
При количестве переменных более трех задача теряет геометрическую
наглядность, так как трудно представить себе, например,
четырехмерное пространство. Однако идея получения решения,
рассмотренного выше, сохраняет смысл и для случая многомерного
пространства.
На основе этой идеи создан и разработан один из основных методов
решения задач линейного программирования — так называемый
симплекс-метод.
Симплекс-метод является алгебраической формой решения
задачи линейного программирования, вытекающей из только что
рассмотренного геометрического представления. При обосновании
симплекс-метода будем прибегать к уже рассмотренному
выше двухмерному случаю, что позволит достаточно просто перейти
от геометрического представления к его алгебраической
аналогии.
Первый шаг. Найти допустимый план, соответствующий одной
из вершин области допустимых планов.
Второй шаг. Проверить, оптимален ли найденный план. Если
оптимален, вычисления окончены. Если нет — следующий план.
132 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Третий шаг. Переход к другой вершине (другому допустимому
плану), в которой значение целевой функции меньше, проверка
его на оптимальность и т. д.
Поэтому первым шагом должно быть получение координат
одной из вершин многоугольника (многогранника) допустимых
планов. Для этого необходимо преобразовать систему уравнений
таким образом, чтобы с ее помощью можно было легко получать
координаты вершин многоугольника (многогранника) области
допустимых планов.
Анализируя рис. 6.1, можно заметить, что в каждой из вершин
две из переменных обращаются в нуль. Поэтому мы должны принять
две переменные равными нулю, а затем найти остальные четыре
из системы уравнений (6.3). В совокупности все переменные
дадут один из допустимых планов, соответствующих некоторой
вершине.
Чтобы преобразовать систему уравнений описанным образом,
необходимо выразить каждую из неизвестных х1, х2, ..., хm через
остальные.
Такая возможноcть существует лишь в случае, если определитель:
a a a
a a a
a a a
m
m
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2


   
   







 0. (6.11)
Если это условие выполняется, то величины х1, х2, ..., хm называют
базисными. Каждый базис соответствует определенной вершине.
Преобразуем систему уравнений (6.3) так, чтобы, приравнивая
две переменные нулю (например, х5 = 0, х6 = 0), можно было получить
значение базисных величин х1, х2, х3 и х4 — координаты одной
из вершин многоугольника.
Предварительно убедимся, что определитель, составленный из
коэффициентов при этих неизвестных в уравнениях (6.3), не равен
нулю.
Действительно,
4 0 0 1
0 2 0 0
0 0 1 2
4 3 0 0
8






 .
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 133
Это дает нам право считать, что величины х1, х2, х3 и х4 являются
базисными и система (6.3) может быть разрешена относительно их.
Все необходимые преобразования будем производить с матрицей
коэффициентов уравнений (6.3):
4 0 0 1 0 0 16
0 2 0 0 1 0 10
0 0 1 2 6 0 76
4 3 0 0 0 1 24






. (6.12)
Преобразуем матрицу (6.12) в соответствии с указанным выше
требованием получения базисных значений переменных величин.
Для этого необходимо выполнить над ней такие преобразования,
чтобы базисные переменные остались по одной в каждом из уравнений
(строке матрицы), а коэффициенты при них были равны
единице. Начинаем с коэффициента при х1 в первом уравнении.
Чтобы сделать его равным единице, делим все коэффициенты
первого уравнения на четыре. Для исключения переменной х1 из
остальных уравнений отнимаем от каждого из них первое уравнение,
умноженное на такое число, при котором разность коэффициентов
при х1 была бы равна нулю. Например, второе и третье уравнения
(строки) нужно умножить на нуль, четвертое—на единицу.
В результате преобразований получим:
1 0 0
1
4
0 0 4
0 2 0 0 1 0 10
0 0 1 2 6 0 76
0 3 0 1 0 1 8






. (6.13)
Аналогичные преобразования выполняем для переменной х2
во второй строке:
1 0 0
1
4
0 0 4
0 1 0 0
1
2
0 5
0 0 1 2 6 0 76
0 0 0 1
3
2
  1 7






. (6.14)
134 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Для переменной х3 в третьей строке и х4 — в четвертой:
1 0 0 0
3
8
1
4
9
4
0 1 0 0
1
2
0 5
0 0 1 0 3 2 62
0 0 0 1
3
2
1 7








. (6.15)
Выполненная процедура носит название метода полного исключения
(так называемое Жорданово исключение).
Теперь, приравнивая переменные x5 и х6 (соответственно
пятый и шестой столбцы матрицы) нулю, можем написать значения
базисных переменных, которые будут в этом случае равны
свободным членам соответствующих уравнений:
x
x
x
x
1
2
3
4
9
4
5
62
7




;
;
;
.
Обращаясь к геометрической интерпретации (см. рис. 6.1),
можно убедиться, что полученные координаты x1
1
4  2 , x2 = 5,
x5 = x6 = 0 соответствуют вершине А многоугольника ABCDEF —
области допустимых планов. Это и есть первый допустимый план.
Теперь можно перейти ко второму шагу симплекс-метода —
установлению того, является ли допустимый план, соответствующий
найденной вершине А, оптимальным.
Наиболее естественным путем решения этой задачи был бы
сплошной перебор всех вершин области допустимых планов, определение
для каждой из них значений переменных хj (j = 1, 2, ..., 6) и
вычисление по ним в каждой вершине величины целевой функции.
Та вершина, в которой величина у оказалась бы минимальной,
и даст искомый оптимальный план.
Но этот путь весьма неэкономичен, ибо требует просчитать
большое количество планов, в том числе и явно неоптимальных.
Симплекс-метод предусматривает поэтому не сплошной, a
направленный перебор планов, при котором каждый последующий
план оказывается лучше предыдущего. Число вычислительных
операций при этом резко сокращается.
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 135
В чем сущность направленного перебора?
В первом допустимом плане, соответствующем вершине А, целевая
функция в соответствии с формулой (6.6) равна:
yA  2 4x 0 8x 22 8  2 4 
9
4
0 8 5 22 8 214 1 2 , , , , , , ,.
Мы уже знаем из выражения (6.9), что уmin = 13,2. Следовательно,
целевая функция в точке А значительно больше минимума и необходимо
продолжать перебор вершин-планов до тех пор, пока не
придем к оптимальному.
Из вершины А можно перейти к соседним вершинам F и В
(см. рис. 6.1), двигаясь по сторонам многоугольника AF и АВ соответственно.
Видимо, нужно избрать такое направление перехода к
соседней вершине, которое приведет к наибольшему уменьшению
целевой функции.
Рассчитаем значения целевой функции для соседних вершин F и
В. Пользуясь формулой (6.6) и подставляя соответствующие значения
х1 и х2, получим:
уF = —2,4 0 + 0,8 5 + 22,8 = 26,8;
уВ = —2,4 4 + 0,8
8
3
+ 22,8 = 15,33.
Сопоставляя два последних выражения, нетрудно убедиться,
что минимизация функции цели достигается при движении к точке
В по стороне АВ. Это означает, что в базис вводится переменная
х5, которая в вершине А была равна нулю.
Поскольку при отсутствии наглядного геометрического представления
заранее нельзя располагать значениями переменных в
вершинах многоугольника, то для установления необходимости и
направления перебора планов пользуются специальным критерием
j:
j i ij j
i
m
 c a  c
 
,
1
(6.16)
где индекс j приписывается небазисным (нулевым) переменным,
а индекс i — базисным. Для получения значений коэффициента сi
целевая функция уA преобразуется таким образом, чтобы исключить
из нее небазисные переменные x5 и x6:
уА = —2,4х1 + 0,8х2 + 22,8 = –0,8х1 – 1,6х2 + 0,2х3 + 0,8х4 + 72.
Значения аij выбираются из соответствующих столбцов матрицы
(6.15).
136 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Имеется доказательство того, что в случае оптимальности полученного
плана все j становятся равными нулю или меньше нуля.
Включению в базис подлежит та переменная, для которой j принимает
наибольшее положительное значение. В нашем примере это:
5 115 2 25 3 35 4 45 0
8
10
3
8
16
10
   

 

 


c a c a c a c a
 

 

1
2
 
2
10
3
8
10
3
2
0
13
10
;
   6
8
10
1
4
16
10
0
2
10
2
8
10
1 0
3
5
        .
Таким образом, мы приходим к тому же заключению о необходимости
включения в базис переменной х5, для которой критерий
имеет наибольшее положительное значение.
Далее необходимо установить, какая переменная должна быть
выведена из базиса при введении в него переменной х5. Чтобы ответить
на этот вопрос, будем рассуждать так.
Очевидно, следует переместиться по стороне АВ как можно
дальше от точки А, чтобы как можно больше уменьшить целевую
функцию. Стало быть, можно взять в качестве координаты хi точки
В ее максимальное возможное значение, допускаемое системой
уравнений (6.5), соответствующей матрице (6.15), т. е. такое, при
котором ни одна из переменных не становится отрицательной.
Можно показать, что это достигается в том случае, если вывести
из базиса переменную, которой соответствует минимальное положительное
значение отношения свободного члена уравнения к
коэффициенту при х5 в соответствующем столбце матрицы (6.15).
Поэтому избирается четвертая строка матрицы и соответственно
переменная х4, подлежащая исключению из базиса.
Теперь необходимо получить в четвертой строке значение коэффициента
при новой базисной величине х5, равного единице, а
все остальные коэффициенты этого столбца обратить в нуль. Для
этого проверяем вычислительную процедуру полного исключения.
Получаем
1 0 0 0 0 0 4
0 1 0 0 0
1
3
8
3
0 0 1 0 0 4 48
0 0 0
2
3
1
2
3
14
3







. (6.17)
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 137
Данной матрице отвечает допустимый план в вершине В. Приравнивая
небазисные переменные нулю (х4 = х6 = 0), получаем значения
остальных переменных, соответствующих второму плану:
х1 = 4; х3 = 48;
x2
8
3
 ; x5
14
3
 .
Как уже было показано, y B  15 1
3 . Итак, получено существенное
сокращение целевой функции, однако критерий 6 продолжает
оставаться положительным, что говорит о необходимости дальнейшего
улучшения плана:
4
2
5
  ; 6
3
10
 .
На этот раз в базис вводится переменная x4, а выводится переменная
х2, которой соответствует наименьшее значение коэффициента
в столбце х6.
После преобразования матрицы (6.17) получаем матрицу
(6.18), отвечающую третьему плану:
1 0 0 0 0 0 4
0 3 0 0 0 1 8
0 12 1 0 0 0 16
0 2 0
2
3
1 0 10







. (6.18)
Данный план соответствует вершине С:
х1 = 4; х4 = 0;
х2 = 0; х5 = 10;
х3 = 16; х6 = 8.
Критерии  для данного плана равны:
2
4
5
  ; 4
2
5
  .
Поскольку нет ни одного положительного критерия, то третий
план и является оптимальным, что следует и из рис. 6.1.
Целевая функция при данном плане равна:
уС = 13,2.
138 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Итак, мы пришли аналитическим путем к тому же оптимальному
плану, который был ранее получен геометрическим способом.
Решение примера 6.1 можно сформулировать следующим образом.
Чтобы издержки при распределении ресурсов между предприятиями
были минимальными, количество предприятий первого
типа должно быть равно 4, второго — 0, третьего — 16, четвертого
— 0, пятого — 10, шестого — 8.
При этом издержки будут составлять 13,2 единицы.
Важно отметить, что наихудший план распределения, соответствующий
точке F, приводит к потере 26,8 единиц. Таким образом,
без дополнительного расходования ресурсов (только за счет
их рационального распределения) улучшен результат решения задачи
более чем в два раза.
Рассмотренная вычислительная процедура, как было отмечено,
сводится к решению системы уравнений (6.3) методом последовательного
исключения неизвестных. Для такого решения в математике с
успехом применяется аппарат матричной алгебры, который позволяет
наиболее экономно производить требуемые вычисления.
Техника решения системы уравнений (6.3) с помощью матриц
заключается в следующем.
Исходную систему уравнений (6.3) можно компактно представить
как матричное уравнение такого вида:
AX = S, (6.19)
где А, Х и S — некоторые матрицы.
Матрица А содержит коэффициенты при переменных в уравнении
(6.3):
A 






4 0 0 1 0 0
0 2 0 0 1 0
0 0 1 2 6 0
4 3 0 0 0 1
. (6.20)
Матрица Х содержит переменные величины этого уравнения:
X 






x
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
6
. (6.21)
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 139
Матрица S содержит свободные члены того же уравнения:
S 






16
10
76
24
. (6.22)
Уравнение целевой функции (6.10) в матричном виде можно
представить так:
y  CX, (6.23)
где С — матрица, содержащая коэффициенты при переменных в
уравнении (6.4).
С = (0,4; 0,5; 0,2; 0,8; 0,6; 0,3). (6.24)
Разобьем мaтpицы А, X и С на подматрицы (клетки) в соответствии
с принятым базисным решением — исходным (или опорным)
планом.
Матрица А разбивается на подматрицы А0 и Аs, причем А0 содержит
столбцы, соответствующие коэффициентам при переменных
x5 и x6, равных нулю, а матрица Аs представляет собой столбцы,
соответствующие коэффициентам при остальных (базисных)
переменных:
A0
0 0
1 0
6 0
0 1







; (6.25)
As 






4 0 0 1
0 2 0 0
0 0 1 2
4 3 0 0
. (6.26)
Матрица X разбивается на подматрицы Х0 и Хs, причем Х0 содержит
значение переменных, равных нулю, a Xs — значения
остальных (базисных) переменных:
X0
5
6
0
0









 

 
x
x
; (6.27)
140 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Xs 













x
x
x
x
1
2
3
4
16
10
76
24
. (6.28)
Матрица С разбивается на подматрицы С0 и Сs, причем С0 содержит
коэффициенты в выражении для линейной формы при нулевых
переменных, a Cs —для остальных (базисных) переменных:
C0 = (0,6 0,3); (6.29)
Cs = (0,4 0,5 0,2 0,8). (6.30)
Проверка всех получаемых дчопустимых планов (в том числе
и исходного) на оптимальность производится с помощью так называемого
критериального вектора D.
Критериальным называется вектор, обладающий следующим
свойством: если хотя бы один из входящих в него элементов положителен,
то соответствующий план неоптимален; наличие в составе
критериального вектора только отрицательных или равных
нулю элементов говорит об оптимальности плана.
Критериальный вектор расситывается по формуле
D = CsR — C0; (6.31)
R  A A
s
1
0,
где A s
1 — обратная матрица* по отношению к матрице A s
* .
Имеется доказательство, что в случае оптимальности полученного
плана все элементы критериального вектора становятся равными
нулю или меньше нуля (см. выше критерий ).
Проверим наш исходный план с помощью критериального
вектора. A s
1 находится из равенства A A s s
1= 1:
As
 

 







1
0
3
8
0
1
4
0
1
2
0 0
2 3 1 2
1
3
2
0 1
;
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 141
* Матрица В называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если
АВ = 1 (где 1 — единичная матрица). Матрица, обратная матрице А, обозначается
А–1.
R  A A 

 








s
1
0
0
3
8
0
1
4
0
1
2
0 0
2 3 1 2
1
3
2
0 1











0 0 
1 0
6 0
0 1
3
8
1
4
1
2
0
3 2
3
2
1





;
С R s 

 

 







4
10
5
10
2
10
8
10
3
8
1
4
1
2
0
3 2
3
2
1

 

 

 
19
10
3
10
;
D  C R C  

 

 
 

 

 
 

 


s 0
19
10
3
10
6
10
3
10
13
10
3
5
. (6.32)
Поскольку
13
10
 0, исходный план неоптимален.
Переходим ко второму шагу.
Из выражения (6.32) находим наибольший коэффициент
13
10
,
соответствующий переменной х5, которая вводится в базис.
Затем описанным выше путем устанавливается переменная х4,
подлежащая исключению из базиса.
Значения других переменных рассчитываются по формуле
Хs = B — x5R5, (6.33)
где
B 

 








0
3
8
0
1
4
0
1
2
0 0
2 3 1 2
1
3
2
0 1
16
10
76
24
9
4
5
62
7













;
142 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
Xs 






 



9
4
5
62
7
0
9
4
5
62
 7



.
Таким образом, мы получили следующие значения переменных
для второго, улучшенного плана:
x
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
6
9
4
5
62
7
0
0






;
;
;
;
;
.
Это уже знакомый нам первый допустимый план, которому
соответствует точка А на графике рис. 6.1, и т. д.
Ниже приводится ряд задач, решаемых с помощью линейного
программирования, которые иллюстрируют возможности данного
метода и приемы решения.
Пример 6.2
Рассмотрим некую производственную ситуацию. Например,
организация, занимающаяся механизацией трудоемких работ,
располагает набором однородных технических средств в количестве
30 единиц, которые размещаются в трех базах: А1, А2, А3. При
этом базы А1 и А2 имеют по 11 единиц техники, а база А3 — 8 единиц.
Использование этой техники планируется на четырех объектах
Б1, Б2, Б3, Б4. Причем объект Б1 нуждается в 5 единицах,
объекты Б2 и Б3 — в 9 единицах каждый, а объект Б4 — в 7 единицах
техники.
Эффективность эксплуатации технических средств во многом
зависит от того, насколько интенсивно они используются, т. е.
чем меньше простои, тем выше эффективность. В данном случае
простой машин определяется главным образом тем, на каком объекте
они работают. Например, машины базы А3, занятые на объекте
Б1, простаивают в среднем 6 ч в неделю, а те же машины на
объекте Б3 бездействуют лишь 1 ч в неделю.
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 143
Общая картина использования техники с указанием ее наличия
в базах и потребностей на объектах показана в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Простои машин (в часах за неделю)
Базы
Объекты
Б1
5
Б2
9
Б3
9
Б4
7
А1
11
7 8 5 3
А2
11
2 4 5 9
А3
8
6 3 1 2
Решение
Необходимо разработать такой план распределения машин по
объектам, при котором суммарное время простоя техники окажется
наименьшим. Это будет так называемая транспортная задача
математического программирования. Одним из наиболее распространенных
методов решения подобных задач является метод
потенциалов. Прежде всего составляем исходный план распределения
машин по объектам.
В правые верхние углы клеток таблицы поместим цифры простоя
машин, освободив тем самым нижнюю половину клеток для
цифр, характеризующих количество распределяемых единиц техники.
Первоначально заполняется первая строка плана. Очевидно,
что распределение целесообразно выполнить по тому направлению,
где время простоя минимально, т. е. А1Б4. Здесь время простоя
(обозначим его С14) равно 3 ч. Количество машин на этом направлении
устанавливается как минимальное из их общего количества,
имеющегося на А1 и потребного для Б4, и равняется 7. Таким
образом, достигается либо полный расход техники данной
базы, либо полное насыщение данного объекта. В рассматриваемом
случае полностью насыщается объект Б4 (для памяти подчеркнем).
После указанной операции на базе А1 остаются 4 единицы, которые
записываем в скобках рядом с цифрой 11. Этот остаток целесообразно
направить на объект Б3, поскольку простои по на-
144 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
правлению А1Б3 будут минимальными из оставшихся. Теперь все
ресурсы базы A1 оказываются исчерпанными (A1 можно подчеркнуть),
а на объекте Б3 остается потребность в 5 единицах (эта цифра
записывается рядом с 9 в скобках).
Поскольку все ресурсы базы А1 израсходованы, переходим ко
второй строке плана, где описание операций повторяется и т. д.
Таблица 6.3
Первый план (исходный)
Базы
Объекты
Б1
5
Б2
9 (3)
Б3
9 (5)
Б4
7
uAi
А1
11 (4)
5 < 7 7 < 8 5
4
3
7 0
А2
11 (6)
2
5
4
6
2 < 5 0 < 9
–3
А3
8 (3)
1<6 3
3
1
5
–1 < 2
–4
uБj 5 7 5 3
В результате получаем первый, или исходный, план распределения
машин по объектам (табл. 6.3).
Чтобы определить оптимальность полученного плана, время
простоя, характеризующее эффективность решаемой задачи, будем
рассматривать в качестве некоторой стоимости: чем время
простоя меньше, тем меньше и стоимость работы.
Вводим понятие потенциала. Потенциалами являются некоторые
числа uАi и uБj, приписываемые соответственно базам и
объектам, сумма которых для клеток плана, содержащих цифры
распределенных машин, равна стоимости результата времени
простоя, то есть
uAi + uБj = сij (xij > 0), (6.34)
а для тех клеток, где распределения нет, эта сумма будет не более
стоимости результата, то есть
uAi + uБj  (сijxij  0). (6.35)
План, все клетки которого отвечают условиям (6.34), (6.35),
является оптимальным.
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 145
Чтобы определить оптимальность указанного исходного плана,
вначале рассчитаем и внесем в табл. 6.3 значения потенциалов
баз и объектов.
Примем, что uАi = 0, тогда
uБ3 = с13 — uAi = 5 — 0 = 5;
uБ4 = с14 — uАi = 3 — 0 = 3;
uA3 = c33 — uБ3 = 1 — 5 = —4;
uБ3 = с23 — uА3 = —3 (—4) = 7;
uА2 = с22 — uБ2 = 4 — 7 = —3;
uБ1 = с21 — uА2 = 2 — (—3) =5.
Проверим теперь, соблюдается ли условие потенциальности
для свободных клеток. Просуммируем для каждой из них соответствующие
потенциалы баз и объектов и сравним полученные значения
с временем простоя, проставленным в правых верхних углах
клеток.
Суммы потенциалов для свободных клеток называются псевдостоимостями
и обозначаются Сij. Их записывают в левых верхних
углаx клеток.
Из выражений (6.34) и (6.35) следует, что для оптимального
варианта плана: Cij — Cij  0. Как видно из табл. 6.3, условие (6.34)
выполняется для всех свободных клеток. Следовательно, этот
план оптимальный.
В случае, если условие оптимальности не соблюдено, план подлежит
улучшению.
Пример 6.3
Допустим, что производственное предприятие располагает четырьмя
бригадами рабочих-специалистов определенного профиля:
условно А1, А2, А3, А4. Специалисты из этих бригад распределяются
по пяти различным видам работ: условно Б1, Б2, Б3, Б4, Б5. От
того, как будут распределены по этим видам рабочие, зависит в
первую очередь качество продукции.
При составлении конкретного плана распределения рабочихспециалистов
целесообразно применять математическое программирование.
Прежде всего составляется таблица исходного плана (табл. 6.4),
подобная рассмотренной выше. В качестве стоимостей и псевдостоимостей
в данном случае выступают стоимости бракованной
146 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности
продукции, получаемой при данном распределении рабочих по
видам работ.
Здесь в трех клетках — А1Б5, А2Б1 и А4Б5 — псевдостоимости
оказываются большими, чем соответствующие стоимости (эти неравенства
подчеркнуты). Таким образом, условие оптимальности
не соблюдается и, следовательно, план требует улучшения. Для
этого необходимо ввести распределение рабочих в ту из клеток,
где имеются наибольшие нарушения условий оптимальности, то
есть где разность между псевдостоимостью и стоимостью наибольшая
(она подчеркнута двойной чертой в клетке А2Б1).
Таблица 6.4
Первый план (исходный)
Бригады
Виды работ
Б1
24 (12)
Б2
15 (13,4)
Б3
10
Б4
20
Б5
7
uAi
А1
22 (2)
11 < 12 8
2
7 < 10 4
20
10 > 9
0
А2
19 (9)
6 < 3
h1
3
9 – h1
2
10
–1 < 6 5 < 10
–5
А3
29 (12)
3
12
0 < 7 – 1 < 10 –4 < 3 2
7
–8
А4
16 (12)
8
12 – h1
5
4 + h1
4 = 4 1 3 7 > 5
– 3
11 8 7 4 10
Чтобы при заполнении A2Б1 не был нарушен общий баланс
распределения, необходимо перераспределение специалистов выполнить
так, чтобы сумма ресурсов рабочих по всем горизонталям
и вертикалям сохранялась. Достигается это тем, что рабочие перераспределяются
лишь в пределах определенного контура, начало
и конец которого находится в полученной свободной клетке А2Б
(отмечен штриховой линией). Изменение направления контура
следует производить в тех клетках, где есть распределение. Причем
необходимо стремиться к тому, чтобы поворотные клетки, лежащие
на одной горизонтали и вертикали со свободной клеткой,
содержали работы наибольшей стоимости (с наибольшим браком).
Это выгодно, так как количество рабочих в указанных клетках
будет уменьшаться на h человек для компенсации нового распределения
в клетке А2Б1. Тем самым брак будет уменьшаться.
Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 147
Для соблюдения общего баланса добавляют h рабочих в клетку
A4Б2. В контуре происходит чередование знаков дополнительного
распределения h в поворотных клетках: в клетке А2Б1 — плюс, в
клетке А2БА — минус и т. д. Величина дополнительного количества
рабочих h должна избираться таким образом, чтобы ни одно из
распределений не становилось отрицательным. В данном случае
h1 = 9.
Таблица 6.5
Второй план (улучшенный)
Бригады
Виды работ
Б1
24
Б2
15
Б3
10
Б4
20
Б5
7
uAi
А1
22
11 < 12 8
2
10 = 10 4
20
10 > 9
0
А2
19
3
9 + h2
0 < 3 2
10 – h2
–4 < 6 2 < 10
–8
А3
19
3
12
0 < 7 2 < 10 –4 < 3 2
7 –8
А4
16
8
3 – h2
5
13
7 > 4
h2
1< 3 7 > 5 – 3
uБj 11 8 10 4 10
После распределения рабочих в контуре получим второй план,