18 Март 2011

Социально-экономическая статистика




на признака у единиц изучаемой совокупности: > . Для умеренно асиммет-ричных рядов распределения установлено следующее соотноше-ние: или .

Дисперсия имеет самостоятельное значение в статистике и относится к числу важнейших показателей:

Для первичного ряда .

Для вариационного ряда .

Следовательно, .

В статистике часто возникает необходимость сравнения ва-риации различных признаков. В таких случаях используют пока-затель относительного рассеяния – коэффициент вариации:

.

Коэффициент вариации показывает, на сколько процентов в среднем индивидуальные значения отличаются от средней арифметической. Он является критерием надежности средней: если он превышает 40%, то это свидетельствует о большой ко-леблемости признака и, следовательно, средняя недостаточно на-дежна.

Линейный коэффициент вариации: .

Коэффициент осцилляции: .

Дисперсия обладает рядом свойств.

1. Дисперсия постоянного числа равна нулю. Если то :

.

2. Если все варианты одного ряда увеличить или уменьшить на какое-либо число, то дисперсия нового ряда не изменится.

Пусть , но тогда :

.

3. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в раз, то дисперсия нового ряда уменьшится (или увеличится) в .

Пусть , тогда :

.

Моментом распределения называется средняя арифмети-ческая тех или иных степеней отклонений индивидуальных зна-чений признака от определенной исходной величины. В общем ви-де момент можно записать следующим образом:

,

где А – величина, от которой определяются отклонения;

к – степень отклонения (порядок момента).

В зависимости от величины к моменты могут быть рассчи-таны любого порядка, но практическое применение находят мо-менты первых четырех порядков.

В качестве постоянной величины А может быть принято любое число. В зависимости от того, что принимается за посто-янную величину, различают следующие три вида моментов:

1) если в качестве постоянной величины принят нуль, т.е. А=0, то моменты именуют начальными. В общем виде их можно записать:

• и соответственно моменты первых четырех порядков;

• ;

• – средняя арифметическая из квадратов вариантов;

• ;

• .

2) если в качестве постоянной величины принята средняя арифметическая ряда, т.е. А= , то моменты именуют централь-ными:

• ;

• согласно свойству средней ариф-метической;

• дисперсия;

• для расчета показателя эксцесса.

3) если в качестве постоянной величины принято любое число, отличное от нуля, то момент именуют условным:

• ;

• ;

• ;

• ;

• .

Используя начальные моменты первого и второго порядка можно получить формулу для расчета дисперсии:

Вычислить дисперсию можно также следующим образом:

Следовательно, дисперсия может быть определена как раз-ность среднего квадрата вариантов и квадрата их средней.

В вариационных рядах с равными интервалами дисперсия может быть вычислена способом моментов и способом отсчета от условного нуля.

Расчет производится по формуле:

,

где – ширина интервала;

х0 – условный нуль, в качестве которого удобно ис-пользовать середину интервала, обладающего наибольшей часто-той;

– момент второго порядка;

– квадрат момента первого порядка.

Единицы изучаемых явлений могут характеризоваться та-кими признаками, которыми одни единицы совокупности обла-дают, а другие – нет. Такой признак называется альтернативным.

Наличие признака обозначается единицей, а его отсутст-

вие – нулем. Доля единиц, обладающих этим признаком, обозна-чается p, а доля, им не обладающая — q. Следовательно, p + q = 1, q = 1 – p. Среднее значение альтернативного признака равно:

.

Таким образом, среднее значение альтернативного признака равно величине той доли единиц, которая им обладает.

Определим дисперсию альтернативного признака:

Среднеквадратическое отклонение альтернативного призна-ка: .

Пример.

Из 1000 готовых изделий 250 оказались высшего качества. Определить .

или 25% изделий высшего качества.

.

Для оценки влияния различных факторов, определяющих колеблемость индивидуальных значений признака можно вос-пользоваться разложением дисперсии на составляющие: меж-групповую и внутригрупповую дисперсии.

Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия, которая является мерой колеблемости частных средних по груп-пам от общей средней:

,

где – групповые средние;

– общая средняя для всей совокупности;

– численность отдельных групп.

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, ха-рактеризует в каждой груп